Question

【題目】已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值4和最小值1，
設(shè) ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

因?yàn)? ，所以 在區(qū)間 上是增函數(shù)，

故 ，解得 ．

（Ⅱ）由已知可得 ，所以 可化為 ，

化為 ，令 ，則 ，因 ，故 ，

記 ，因?yàn)? ，故 ，

所以 的取值范圍是

【解析】(1)由函數(shù)可知其圖像是開(kāi)口向上的拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以函數(shù) g(x) 在區(qū)間 [ 2 , 3 ] 上單調(diào)遞增根據(jù)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值情況代入數(shù)值求出a、b的值即可。(2)整理已知的函數(shù)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為 2x + 2 ≥ k 2x，由整體思想轉(zhuǎn)化為 k ≤ t2 2 t + 1 結(jié)合2x>0，x ∈ [ 1 , 1 ]即可 t ∈ [ , 2 ] ，借助二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值情況求出 h ( t ) min= 0 ，進(jìn)而得出 k 的取值范圍。