Question

 橢圓的離心率為, 過(guò)點(diǎn), 記橢圓的左頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn), 試求面積的最大值；

（3）過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且, 求證: 直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

（1）由，解得

所以橢圓C的方程為x²＋2y²＝1.

（2） 解：設(shè)B(m，n)，C(－m，n)，則S_△ABC＝×2|m|×|n|＝|m|·|n|，

又1＝m²＋2n²≥2＝2|m|·|n|，所以|m|·|n|≤，

當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝|n|時(shí)取等號(hào)，

從而S_△ABC≤，即△ABC面積的最大值為.

（3）證明：因?yàn)?i>A(－1,0)，所以AB：y＝k₁(x＋1)，AC：y＝k₂(x＋1)，

由消去y，得(1＋2k)x²＋4kx＋2k－1＝0，解得x＝－1或

∴ 點(diǎn)，同理，有，而k₁k₂＝2，

∴

∴ 直線BC的方程為

即，即，

所以，得直線BC恒過(guò)定點(diǎn).