Question

11．以下五個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點(diǎn)；
②以拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的．
③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為常數(shù)，若|PA|-|PB|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
④過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條．
⑤過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓
其中真命題的序號(hào)為①②④（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)橢圓和雙曲線的c是否相同即可判斷．
②根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷．
③根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行判斷．
④根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．
⑤根據(jù)圓錐曲線的根據(jù)方程進(jìn)行判斷．

解答 解：①由$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$得a²=16，b²=9，則c²=16+9=25，即c=5，
由橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$得a²=49，b²=24，則c²=49-24=25，即c=5，則雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，故①正確，
②不妨設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
取AB的中點(diǎn)M，分別過(guò)A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故②正確，
③平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，
當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線，∴故③不正確；
④過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）作直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，橫坐標(biāo)之和等于2，不合題意；
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
∴設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），則直線l為y=k（x-1），
代入拋物線y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0；
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，
∴$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=5，解得k²=$\frac{4}{3}$，
∴這樣的直線有且僅有兩條．故④正確，
⑤設(shè)定圓C的方程為（x-a）²+（x-b）²=r²，其上定點(diǎn)A（x₀，y₀），設(shè)B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{x}_{0}+a+rcosθ}{2}\\ y=\frac{{y}_{0}+b+rsinθ}{2}\end{array}\right.$，消掉參數(shù)θ，得：（2x-x₀-a）²+（2y-y₀-b）²=r²，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，故⑤錯(cuò)誤；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查橢圓、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于難題．