Question

2．已知關(guān)于x的不等式2x²-2mx+m＜0的解集為A，若集合A中恰好有兩個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{8}{3}$，$\frac{18}{5}$]．

Answer 1

分析 由判別式大于0求得m＞2，再由A中恰有兩個整數(shù)，得$\sqrt{{m}^{2}-2m}$≤3，得到對稱軸的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．

解答 解：由題意可得，判別式△=4m²-8m＞0，解得m＜0（舍），或 m＞2．
設(shè)A=（a，b），由于集合A中恰有兩個整數(shù)則有|b-a|≤3，
即|$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-2m}}{2}-\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-2m}}{2}$|=$\sqrt{{m}^{2}-2m}$≤3，
即m²-2m≤9，解得 2＜m≤1+$\sqrt{10}$．
故有對稱軸1＜$\frac{m}{2}$≤$\frac{1+\sqrt{10}}{2}$$＜\frac{5}{2}$，
令f（x）=2x²-2mx+m，
而f（4）=32-7m＞0，f（0）=m＞0，f（1）=2-m＜0，
故A中的兩個整數(shù)為1和2，∴f（2）＜0，f（3）≥0．
即$\left\{\begin{array}{l}{8-3m＜0}\\{18-5m≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{3}＜m≤\frac{18}{5}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{8}{3}$，$\frac{18}{5}$]．
故答案為：（$\frac{8}{3}$，$\frac{18}{5}$]．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．