Question

當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x²+1＜2x+log_ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．（0，1）
B．（1，2]
C．（1，2）
D．[2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由已知中當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x²+1＜2x+log_ax恒成立，則a＞1，y=log_ax必為增函數(shù)，且當(dāng)x=2時(shí)的函數(shù)值不小于1，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．
解答：解：∵x∈（1，2）時(shí)，不等式x²+1＜2x+log_ax恒成立，即x∈（1，2）時(shí)，log_ax＞（x-1）²恒成立．
∵函數(shù)y=（x-1）²在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，y=（x-1）²∈（0，1），
∴若不等式log_ax＞（x-1）²恒成立，
則a＞1且log_a2≥1，故1＜a≤2．
即a∈（1，2]，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，其中根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合已知條件構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．