Question

7．某幾何體的一條棱長(zhǎng)為m，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為4的線(xiàn)段．在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線(xiàn)段，若a+b=6，則m的最小值為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖的定義，構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)幾何體的棱為AB，則AB=m，
在長(zhǎng)方體中，BD為正投影，
BE為側(cè)視圖中的投影，
AC為俯視圖中的投影，
則BD=4，BE=a，AC=b且滿(mǎn)足a+b=6，
設(shè)AE=x，CE=y，BC=z，
則滿(mǎn)足x²+y²+z²=m²，
x²+y²=b²，①y²+z²=a²，②x²+z²=16，③，
三式相加得2（x²+y²+z²）=a²+b²+16，
即2m²=a²+b²+16=（a+b）²+16-2ab=36+16-2ab=52-2ab，
∵6=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤9，-ab≥-9，
則2m²=52-2ab≥52-18=34，
即m²≥17，
則m≥$\sqrt{17}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取等號(hào)，
故m的最小值為$\sqrt{17}$，
故答案為：$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間三視圖的應(yīng)用以及利用基本不等式進(jìn)行求解最值問(wèn)題，根據(jù)條件構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．