Question

已知橢圓短軸長(zhǎng)為2，P（x，y）（x≠±a）是橢圓上一點(diǎn)，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)∠F₁PF₂為鈍角時(shí)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn)，若，求MN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的短軸長(zhǎng)為2，可得b=1，再由直線PA，PB的斜率之積為，結(jié)合P在橢圓上的特點(diǎn)，列方程可解得a值，從而確定橢圓方程
（2）由余弦定理知∠F₁PF₂為鈍角的充要條件為，利用焦半徑公式代入列不等式即可解得P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍
（3）由于M、N在右準(zhǔn)線上，故MN的長(zhǎng)度即為兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，利用，得縱坐標(biāo)積的值，再利用均值定理即可得縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最小值，進(jìn)而得MN的最小值
解答：解：（1）∵橢圓短軸長(zhǎng)為2，
∴b=1，A（-a，0），B（a，0），=1-=
∴直線PA，PB的斜率之積k_PA•k_PB===-=-
∴a=2
∴橢圓的方程為．
（2）橢圓的a=2，離心率e=
因?yàn)椤螰₁PF₂為鈍角，所以，
所以，
即（2+x）²+（2-x）²＜12
解得，
即P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．
（3）橢圓的右準(zhǔn)線方程為x==
因?yàn)镸、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn)，故設(shè)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230611873151755/SYS201311012306118731517021_DA/24.png">，所以F₁M⊥F₂N．
即，即，所以y₁，y₂異號(hào)．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=-y₂，即或取等號(hào)．
所以MN的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，橢圓的離心率，準(zhǔn)線，焦點(diǎn)三角形等幾何性質(zhì)，向量與解析幾何的綜合，最值問(wèn)題的解法