Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2cosx，對于$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x_2； ②$x_1^2＞x_2^2$；  ③|x₁|＞x_2； ④x₁＞|x₂|，其中能使$f（{x_1}）＞f（{x_2^{\;}}）$恒成立的條件個數(shù)共有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可以判定其單調(diào)性，再判斷出奇偶性，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x²-2cosx，∴f′（x）=2x+2sinx，
∴當(dāng)x=0時，f′（0）=0；當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=0時取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．
根據(jù)以上結(jié)論可得：
①當(dāng)x₁＞x₂時，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②當(dāng)x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|，則f（|x₁|）＞f（|x₂|），f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③當(dāng)|x₁|＞x₂時，由函數(shù)f（x）=x²-2cosx是偶函數(shù)，知f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④x₁＞|x₂|時，則f（x₁）＞f（|x₂|）=f（x₂）恒成立．
綜上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有②④．
故選：B．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、判定函數(shù)的奇偶性等是解題的關(guān)鍵．