Question

7．已知以點C（t，$\frac{3}{t}}$）（t∈R，t≠0）為圓心的圓過原點O．
（Ⅰ） 設直線3x+y-4=0與圓C交于點M、N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的條件下，設B（0，2），且P、Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PQ|-|PB|的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OM=ON得原點O在MN的中垂線上，由圓的弦中點性質和直線垂直的條件列出方程，求出t的值和C的坐標，代入圓的標準方程化簡，再驗證直線與圓的位置關系；
（Ⅱ）根據(jù)三邊關系判斷出取最大值的條件，由圓外一點與圓上一點距離最值問題求出最大值，由點斜式方程求出BC的直線方程，以及此時點P的坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵OM=ON，所以，則原點O在MN的中垂線上．
設MN的中點為H，則CH⊥MN，--------------------（1分）
∴C、H、O三點共線，
∵直線MN的方程是3x+y-4=0，
∴直線OC的斜率$k=\frac{{\frac{3}{t}}}{t}$=$\frac{3}{t^2}$=$\frac{1}{3}$，解得t=3或t=-3，
∴圓心為C（3，1）或C（-3，-1）-------------------------（4分）
∴圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=10或（x+3）²+（y+1）²=10
由于當圓方程為（x+3）²+（y+1）²=10時，圓心到直線3x+y-4=0的距離d＞r，
此時不滿足直線與圓相交，故舍去，
∴圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=10-------------------------（6分）
（Ⅱ） 在三角形PBQ中，兩邊之差小于第三邊，故|PQ|-|PB|≤|BQ|
又B，C，Q三點共線時|BQ|最大-----------------------（9分）
所以，|PQ|-|PB|的最大值為$|{BC}|+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$，
∵B（0，2），C（3，1），∴直線BC的方程為$y=-\frac{1}{3}x+2$，
∴直線BC與直線x+y+2=0的交點P的坐標為（-6，4）---------------------（12分）

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，直線垂直的條件，圓的性質，以及圓外一點與圓上一點距離最值問題等，考查轉化思想．