Question

如圖1所示，已知矩形ABCD，AB＝2AD＝2a，E是CD邊的中點，以AE為棱，將△DAE向上折起，將D變到的位置，使面AE與面ABCE成直二面角(圖2)．

(1)求直線B與平面ABCE所成的角的正切值；

(2)求證：A⊥BE；

(3)求點C到平面AE的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵－AE－B是直二面角，∴平面AE⊥平面ABCE． 　　作O⊥AE于O，連OB， 　　∴O⊥平面ABCE． 　　∴∠BO是直線B與平面ABCE所成的角． 　　∵A＝E＝a，且O⊥AE于O，∠AE＝90° 　　∴O是AE的中點， 　　AO＝OE＝O＝a，∠AE＝∠BAO＝45°．　　2分 　　∴在△OAB中， 　　 　　∴在直角△OB中，　　4分 　　(2)連結(jié)BE∵∠AED＝∠BEC＝45°，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AE于E． 　　∵O⊥平面ABCE，∴O⊥BE，　　6分 　　∴BE⊥平面AE，∴BE⊥A．　　8分 　　(3)C點到平面AE的距離是B到平面AE的一半即　　12分