Question

【題目】已知直線經(jīng)過橢圓E:（）的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為．

（1）求橢圓的離心率；

（2）如上圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出經(jīng)過點(diǎn)和的直線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式即可計(jì)算出答案

（2）由（1）知橢圓的方程為，設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程即可求出

解：（1）過點(diǎn)，的直線的方程為，

則原點(diǎn)到直線的距離，

得，.

（2）由（1）知，橢圓的方程為.

依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，

所以且不與軸垂直.

設(shè)其直線方程為，代入橢圓方程得

.

設(shè)，則，.

由，得，解得.從而.

于是.

由，得，解得.故橢圓的方程為.