Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意，都有，求常數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求得函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性從而證明當(dāng)時(shí)對(duì)任意的不等式恒成立即可.

（1）求導(dǎo)得（）.

由得；由得.

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

故函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).

（2）設(shè)函數(shù)，則

，其中.

（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，則必然存在，使在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

于是，這與題設(shè)矛盾，故舍去.

（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

于是，從而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

故對(duì)任意，都有，滿(mǎn)足題意.

綜上所述，常數(shù)的取值范圍是.