Question

設(shè)f（x）=，對任意實(shí)數(shù)t，記，
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）-g_t（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：
（ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥g_t（x）對任意正實(shí)數(shù)t成立；
（ⅱ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x₀，使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）對任意正實(shí)數(shù)t成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：，
由，得x=±2，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，y′＞0；當(dāng)時(shí)，y′＜0；當(dāng)時(shí)，y′＞0，
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，2）。
（Ⅱ）證明：（i）令，
則，
當(dāng)t＞0時(shí)，由h′（x）=0，得，
當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）內(nèi)的最小值是；
故當(dāng)x＞0時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)t成立；
（ii），
由（i）得，對任意正實(shí)數(shù)t成立．
即存在正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)t成立．
下面證明的唯一性：
當(dāng)，t=8時(shí)，
，
由（i）得，，
再取，得，
所以，
即時(shí)，不滿足對任意t＞0都成立，
故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)t成立．