Question

求滿足

x-y

x+y

+

y-z

y+z

+

z-u

z+u

＞0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整數(shù)組（x，y，z，u）的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：先設(shè)f(a，b，c，d)=

a-b

a+b

+

b-c

b+c

+

c-d

c+d

．記A：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＞0}，B：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＜0}，C：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）=0}，顯然card（A）+card（B）+card（C）=10⁴．下面證明：我們證明card（A）=card（B）．接著計(jì)算card（C）．而計(jì)算出滿 足 x=z，y=u，x≠z的四元組共90個(gè)，進(jìn)而可得答案．

解答：解：設(shè)f（a，b，c，d）=

a-b

a+b

+

b-c

b+c

+

c-d

c+d

．
記A：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＞0}，B：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＜0}，C：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）=0}，
顯然card（A）+card（B）+card（C）=10⁴．
我們證明card（A）=card（B）．對(duì)每一個(gè)（x，y，z，u）∈A，考慮（x，u，z，y）．（x，y，z，u）∈A?f（x，y，z，u）＞0?

x-y

x+y

+

y-z

y+z

+

z-u

z+u

+

u-x

u+x

＞0
?

x-u

x+u

+

u-z

u+z

+

z-y

z+y

+

y-x

y+x

＜0?f（x，y，z，u）＜0?（x，u，z，y）∈B
接著計(jì)算card（C）．（x，y，z，u）∈C?

xz-yu

(x+y)(z+u)

=

xz-yu

(y+z)(u+x)

?（z-x）（u-y）（xz-yu）=0
設(shè)C₁={（x，y，z，u）|x=z，1≤x，y，z，u≤10}，C₂={（x，y，z，u）|x≠z，y=u，1≤x，y，z，u≤10}，C₃={（x，y，z，u）|x≠z，y≠u，xz=yu，1≤x，y，z，u≤10}．∵滿足a×b=c×d，（a，b，c，d）為1、2、3、、10的兩兩不同的無(wú)序四元組只有1×6=2×3，1×8=2×4，1×10=2×5，2×6=3×4，2×9=3×6，2×10=4×5，3×8=4×6，3×10=5×6，4×10=5×8．
滿足x=y，z=u，x≠z的四元組共90個(gè)，滿 足 x=z，y=u，x≠z的四元組共90個(gè)，card（C₃）=4×2×9+90+90=252，card（C₁）=1000，card（C₂）=900．
所以，card（C）=2152，card（A）=3924．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了多次試驗(yàn)分?jǐn)?shù)法的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，解答的關(guān)鍵是對(duì)于式子的運(yùn)算變形能力．