Question

17．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$，目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值M，若M的取值范圍是[1，2]，則點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域面積=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作出可行域，變形目標函數(shù)，分類討論不同情況下，M點對應(yīng)的平面區(qū)域，相加可得答案．

解答 解：作出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$所對應(yīng)的可行域（如圖△OAB及內(nèi)部），

變形目標函數(shù)z=ax+by可得y=-$\frac{a}$x+$\frac{1}$z，
當(dāng)-$\frac{a}$≤-2時，直線經(jīng)過點A（1，0）時，z取最大值a∈[1，2]，
由$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ b＞0\\-\frac{a}≤-2\\ a∈[1，2]\end{array}\right.$得點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域如下圖所示：

故點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域面積S=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)-$\frac{a}$＞-2時，直線經(jīng)過點B（0，2）時，z取最大值2b∈[1，2]，
由$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ b＞0\\-\frac{a}≤-2\\ 2b∈[1，2]\end{array}\right.$得點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域如下圖所示：

故點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域面積S=$\frac{3}{4}$，
綜上可得：點M（a，b）所經(jīng)過的區(qū)域面積面積S=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查簡單線性規(guī)劃，準確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．