Question

已知函數f(x)＝4x³＋3tx²－6t²x＋t－1，x∈R，其中t∈R.

(1)當t＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)當t≠0時，求f(x)的單調區(qū)間；

(3)證明：對任意t∈(0，＋∞)，f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點．

Answer 1

解析　(1)當t＝1時，f(x)＝4x³＋3x²－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x²＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝－6x.

(2)f′(x)＝12x²＋6tx－6t².令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.因為t≠0，以下分兩種情況討論：

①若t<0，則<－t.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，)	(，－t)	(－t，＋∞)
f′(x)	＋	－	＋
f(x)			

所以，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，)，(－t，＋∞)；f(x)的單調遞減區(qū)間是(，－t)．

②若t>0，則－t<.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－t)	(－t，)	(，＋∞)
f′(x)	＋	－	＋
f(x)			

所以，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－t)，(，＋∞)；f(x)的單調遞減區(qū)間是(－t，)．

(3)由(2)可知，當t>0時，f(x)在(0，)內單調遞減，在(，＋∞)內單調遞增．以下分兩種情況討論：

①當≥1，即t≥2時，f(x)在(0,1)內單調遞減．f(0)＝t－1>0，

f(1)＝－6t²＋4t＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.

所以對任意t∈[2，＋∞)，f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點．

②當0<<1，即0<t<2時，f(x)在(0，)內單調遞減，在(，1)內單調遞增．若t∈(0,1]，f()＝－t³＋t－1≤－t³<0，

f(1)＝－6t²＋4t＋3≥－6t＋4t＋3＝－2t＋3>0.

所以f(x)在(，1)內存在零點．

若t∈(1,2)，f()＝－t³＋(t－1)<－t³＋1<0，

f(0)＝t－1>0.

所以f(x)在(0，)內存在零點．

所以，對任意t∈(0,2)，f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點．

綜上，對任意t∈(0，＋∞)，f(x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點．