Question

如圖，長(zhǎng)為m＋1（m＞0）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，且＝m．

（1）求點(diǎn)M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(，0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點(diǎn)．

試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)A、B、M的坐標(biāo)分別為(x₀，0)、(0，y₀)、(x，y)，則

x＋y＝(m＋1)²，                            ①

由＝m，得(x－x₀，y)＝m(－x，y₀－y)，

∴∴         ②

將②代入①，得

(m＋1)²x²＋()²y²＝(m＋1)²，

化簡(jiǎn)即得點(diǎn)M的軌跡Γ的方程為x²＋＝1（m＞0）．

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，軌跡Γ是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)m＝1時(shí)，軌跡Γ是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；

當(dāng)m＞1時(shí)，軌跡Γ是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

（2）依題意，設(shè)直線CD的方程為x＝ty＋，

由消去x并化簡(jiǎn)整理，得(m²t²＋1)y²＋m²ty－m²＝0，

△＝m⁴t²＋3m²(m²t²＋1)＞0，

設(shè)C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則

y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝－．         ③

假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)P(a，0)，使PQ平分∠CPD，

則直線PC、PD的傾斜角互補(bǔ)，

∴k_PC＋k_PD＝0，即＋＝0，

∵x₁＝ty₁＋，x₂＝ty₂＋，∴＋＝0，

化簡(jiǎn)，得4ty₁y₂＋(1－2a)( y₁＋y₂)＝0．           ④

將③代入④，得－－＝0，即－2m²t(2－a)＝0，

∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式對(duì)∀t∈R都成立，∴a＝2．

故在x軸上存在定點(diǎn)P(2，0)，使PQ平分∠CPD．