Question

16．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個(gè)頂點(diǎn)在球O₁上，又知球O₂與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球O₁與球O₂的表面積之比（　　）

• A． 5：1
• B． 2：1
• C． 4：1
• D． $\sqrt{3}$：1

Answer 1

分析 由題意得兩球心是重合的，設(shè)球O₁的半徑為R，球O₂的半徑為r，則正三棱柱的高為2r，AB=2$\sqrt{3}$r，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球O₁的球心，則（2r）²+r²=R²，即5r²=R²

解答 解：設(shè)球O₂的為r，球O₁的半徑為R
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O₁的球面上，
∴三棱柱的高（側(cè)棱長(zhǎng)）為2r．
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面與球O₁的大圓截面如圖（1）所示：可得AB=2$\sqrt{3}$r，BO₁=2r


正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球O₁的球心，
∴（2r）²+r²=R²，∴5r²=R²，∴球O₁與球O₂的表面積之比為5：1．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球與三棱柱的組合體，根據(jù)幾何體的性質(zhì)，找到球心，求出半徑是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．