Question

7．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f′（x）＜1，則不等式f（1g²x）＜1g²x的解集為（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{10}}）$
• B． （10，+∞）
• C． $（{\frac{1}{10}，10}）$
• D． $（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出不等式f（x）＜x的解為x＞1，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-x，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，
則不等式g（x）＜0等價為g（x）＜g（1），
則不等式的解為x＞1，
即f（x）＜x的解為x＞1，
∵f（1g²x）＜1g²x，
∴由1g²x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，
解得x＞10或0＜x＜$\frac{1}{10}$，
故不等式的解集為$（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$，
故選：D

點評 本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．