Question

設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若對I上任意兩點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂）和實(shí)數(shù)λ∈（0，1），總有f（λx₁+（1-λ）x₂）＜λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），則稱f（x）為I上的嚴(yán)格下凸函數(shù)．若f（x）為I上的嚴(yán)格下凸函數(shù)，其充要條件為：對任意x∈I有f^∥（x）＞0成立（f^∥（x）是函數(shù)f（x）導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則以下結(jié)論正確的有    ．
①f（x）=，x∈[0，2014]是嚴(yán)格下凸函數(shù)．
②設(shè)x₁，x₂∈（0，）且x₁≠x₂，則有
③若f（x）是區(qū)間I上的嚴(yán)格下凸函數(shù)，對任意x∈I，則都有f（x）＞f′（x）（x-x）+f（x）
④f（x）=+sinx，（x∈（，））是嚴(yán)格下凸函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)嚴(yán)格下凸函數(shù)的充要條件，求f^∥（x）＞0恒成立即可．
解答：解：①因?yàn)閒（x）==，所以f'（x）=，
所以f^∥（x）=，當(dāng)x∈[0，2014]時(shí)，f^∥（x）＞0恒成立，所以①正確．
②若，則，而，
所以有不成立，所以②錯誤．
③因?yàn)閒（x）=x²為嚴(yán)格下凸函數(shù)，則f'（x）=2x，f^∥（x）=2＞0恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，f′（1）=2，f（1）=1，
此時(shí)不等式等價(jià)為，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0＞-1不成立，所以③錯誤．
④若f（x）=+sinx，則f'（x）=，f^∥（x）=x-sinx，當(dāng)x∈[，]，設(shè)y=x-sinx，則y'=1-cosx≥0，所以函數(shù)f^∥（x）=x-sinx單調(diào)遞增，
所以f^∥（）=），所以f（x）=+sinx，（x∈（，））是嚴(yán)格下凸函數(shù)，所以④正確．
故答案為：①④．
點(diǎn)評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵．