Question

A、B兩城相距30km，現(xiàn)計(jì)劃在兩城外以AB為直徑的半圓弧

AB

上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城A的影響度與廠址到城A的距離的平方成反比（比例系數(shù)k為正數(shù)），對城B的影響度也與廠址到城B的距離的平方成反比，且當(dāng)廠址在弧

AB

的中點(diǎn)時，對城B的影響度是對城A的影響度的四倍，
（1）試將總影響度y（對兩城的影響度之和）表示成廠址到城A的距離x的函數(shù)；
（2）是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對兩城的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出總影響度y與廠址到城A的距離x的函數(shù)關(guān)系，利用城A的比例系數(shù)k表示出城B的比例系數(shù)，確定出函數(shù)的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)作為工具求解該函數(shù)的最值，注意方程思想的運(yùn)用．根據(jù)求解的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)討論出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行作答．

解答：解：（1）根據(jù)題意∠ACB=90°，設(shè)AC=x，則BC=

900-x2

，因此x∈（0，30）
且建在C處的垃圾處理廠對城A的影響度為k，對城B的影響度為k′，
因此，總影響度y=

k

x2

+

k′

900-x2

，
 又因?yàn)槔�圾處理廠建在弧AB的中點(diǎn)時，對城B的影響度是對城A的影響度的四倍，可得k′=4k，
所以y=

k

x2

+

4k

900-x2

，x∈（0，30）
（2）  由于y′=

-2k

x3

-

4k(-2x)

(900-x2)2

=

2k(4x4-(900-x2)2)

x3(900-x2)2

，
令y′=0，由于x∈（0，30），可以解出x=10

3

．
當(dāng)x∈（0，10

3

）時y′＜0，y在x∈（0，10

3

）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（10

3

，30）時y′＞0，y在x∈（10

3

，30）上單調(diào)遞增，
因此該函數(shù)在x=10

3

時取到最小值．
答：存在一點(diǎn)到城A的距離為10

3

km，使建在此處的垃圾處理廠對兩城的總影響度最�。�

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，運(yùn)用模型思想、待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題．