Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n＝pⁿ＋λqⁿ(p＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N^*)．

(1)求證：數(shù)列{a_n+1－pa_n}為等比數(shù)列；

(2)數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)的三項，這三項構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；

(3)設(shè)A＝{(n，b_n)|b_n＝3ⁿ＋kⁿ，n∈N^*}，其中k為常數(shù)，且k∈N^*，B＝{(n，c_n)|c_n＝5ⁿ，n∈N^*}，求A∩B．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵＝，∴ 　　， 　　∵∴為常數(shù)∴數(shù)列為等比數(shù)列 　　(2)取數(shù)列的連續(xù)三項， 　　∵， 　　，∴，即， 　　∴數(shù)列中不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列； 　　(3)當(dāng)時，，此時； 　　當(dāng)時，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時； 　　當(dāng)時，，此時； 　　當(dāng)時，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性(即只有符合要求)． 　　由得， 　　設(shè)，則是上的減函數(shù)，∴的解只有一個 　　從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，此時； 　　當(dāng)時，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性(即只有符合要求)． 　　從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，此時； 　　綜上，當(dāng)，或時，； 　　當(dāng)時，， 　　當(dāng)時，．