Question

【題目】已知定圓：，動圓過點 且與圓相切，記圓心的軌跡為．

(1)求曲線的方程；

(2)已知直線 交圓于兩點.是曲線上兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）根據(jù)動圓與定圓相內(nèi)切，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動圓圓心的軌跡方程；

（2）由題可知，，因圓心坐標(biāo)在直線 上，則直徑，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值. 根據(jù)題意設(shè)直線方程為，設(shè), 與橢圓方程聯(lián)立，整理得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理及，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由此可以求出四邊形面積的最大值.

詳解：解：（1）依題意得：，圓的半徑，

點 在圓內(nèi)，圓內(nèi)切于圓，

，

點的軌跡為橢圓，設(shè)其方程為

則，，，

軌跡的方程為：.

（2）點在直線 上，即直線經(jīng)過圓的圓心，

，故設(shè)直線方程為，設(shè),

聯(lián)立消得，

，且

，

，

四邊形的面積，

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

即四邊形面積的最大值為.