Question

10．如圖所示，ABCD是一個正四面體，E、F分別為BC和AD的中點．
求：（1）CF與平面BCD所成的正弦角．
（2）AE與CF所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ABCD為正四面體，可設底面BCD的中心為O，連接DE，并過O作MN∥BC，從而可以看出ON，OD，OA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，然后可確定圖形上一些點的坐標，從而求出向量$\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AE}$的坐標．可以看出$\overrightarrow{OA}$為平面BCD的一條法向量，設CF和平面BCD所成角為θ，根據(jù)sinθ=$|cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{OA}＞|$即可求出sinθ；
（2）根據(jù)$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$即可求出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$所夾角的余弦值，從而對求得的余弦值取絕對值便可得出AE與CF所成角的余弦值．

解答 解：設底面BCD的中心為O，連接DE，則O在DE上，過O作MN∥BC，分別交BD，CD于M，N，則：
ON，OD，OA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，設該正四面體的棱長為1，則：
O（0，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），F(xiàn)（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），C（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{6}，0$），E（0，$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，0）；
∴$\overrightarrow{CF}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{6}）$，$\overrightarrow{OA}=（0，0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$，$\overrightarrow{AE}=（0，-\frac{\sqrt{3}}{6}，-\frac{\sqrt{6}}{3}）$；
∴（1）$\overrightarrow{OA}$是平面BCD的法向量，設直線CF和平面BCD所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{OA}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{OA}|}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}•\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴CF與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{2}{3}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}}$=$-\frac{2}{3}$；
∴AE與CF所成的角的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 考查正四面體的概念，三角形重心的性質(zhì)，正三角形中心的概念，以及通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面角及線線角的問題的方法，能求空間點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量坐標，平面法向量的概念，向量夾角余弦的坐標公式，清楚向量夾角和線面角及異面直線所成角的關系．