Question

（本題滿分12分）
在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為。
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與曲線交于和。
①以線段為直徑的圓過能否過坐標(biāo)原點(diǎn)，若能求出此時的值，若不能說明理由；
②求四邊形面積的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）①②

解析試題分析：（1）設(shè)，
由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長半軸為的橢圓．
它的短半軸，
故曲線C的方程為．                                     ……4分
（2）①設(shè)直線,，
其坐標(biāo)滿足
消去并整理得，
故．                             ……6分
以線段為直徑的圓過能否過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即．
而，
于是，
化簡得，所以．                             ……8分
②由①，，
將上式中的換為得，
由于,
故四邊形的面積為，       ……10分
令，則，
而，故，故，
當(dāng)直線或的斜率有一個不存在時，另一個斜率為，
不難驗證此時四邊形的面積為，
故四邊形面積的取值范圍是．                             ……12分
考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、二次函數(shù)求最值和向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評：線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，弦長公式是解題時經(jīng)常用到的公式，要熟練掌握，而且探究性問題在高考中經(jīng)常考到，先假設(shè)存在，再求解即可.