Question

己知函數(shù)，
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅲ）令．判定函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）設x，x是R內任意兩個值，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）=-
==
當x₁＜x₂時，＜
∴-＞0．又+1＞0，+1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（Ⅱ）：（1）∵，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（Ⅲ）由題意知g（x）=•
易知函數(shù)g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=•=•=-•=-g（x）
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
分析：（Ⅰ）先對函數(shù)作適當變形，再利用定義證明，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，與零比較，由定義得到結論．
（Ⅱ）利用有界法求解，將函數(shù)看作方程，解得 ，再由2^x＞0，解得y的范圍，即為所求．
（Ⅲ）求出函數(shù)g（x）的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義加以判斷即可得到結論．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性、值域的求法和單調性的證明，值域常見方法有單調性法，基本函數(shù)法，有界性法，判別式法等，證明單調性一般有定義法，導數(shù)法，考查運算能力以及分析問題解決問題的能力．屬中檔題．