Question

22.已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=,且a_n=(n≥2,n∈N^*).

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，不等式a₁·a₂·…·a_n＜2·n!恒成立.

Answer 1

解：

(1)將條件變?yōu)椋?-因此，{1-}為一個(gè)等比數(shù)列，

其首項(xiàng)為1-,公比為，從而1-，

據(jù)此得a_n=(n≥1)                            …………①

（2）證：據(jù)①得，a₁,a₂…a_n=.

為證a₁a₂…a_n＜2·n!，

只要證n∈N^*時(shí)有＞.     …………②

顯然，左端每個(gè)因式皆為正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)n∈N*,

≥1-.    …………③

用數(shù)學(xué)歸納法證明③式：

1°n=1時(shí)，顯然③式成立，

2°設(shè)n=k時(shí)，③式成立,

即≥1-,

則當(dāng)n=k+1時(shí),

≥［1-］

=１--

≥1-.

即當(dāng)n=k+1時(shí)，③式也成立.

故對(duì)一切n∈N^*,③式都成立.

利用③得，≥1-

=1-

=1-＞.

故②式成立，從而結(jié)論得證.