Question

（09年宜昌一中10月月考理）（14分）對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點(diǎn)。如果函數(shù)有且僅有兩個不動點(diǎn)和，且。

（1）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：。

Answer 1

解析：（1）設(shè)

                ∴     ∴

     由，     又∵    ∴    

∴    …… 3分 

           于是

           由得或；   由得或

           故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)減區(qū)間為和                       ……4分

（2）由已知可得，     當(dāng)時，

     兩式相減得  ∴或

當(dāng)時，，若，則這與矛盾

∴     ∴                       ……6分

于是，待證不等式即為。

為此，我們考慮證明不等式

令則，

再令，     由知

∴當(dāng)時，單調(diào)遞增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴當(dāng)時，單調(diào)遞增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知                  ……10分

所以，，即         ……11分

（3）由（2）可知   則

     在中令，并將各式相加得

    

     即                            ……14分