Question

19．在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），當P是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題：
?①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A．
?②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上．
?③若兩點關于x軸對稱，則他們的“伴隨點”關于y軸對稱
④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線．
其中的真命題是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)“伴隨點”的定義，分別進行判斷即可，對應不成立的命題，利用特殊值法進行排除即可．

解答 解：①設A（0，1），則A的“伴隨點”為A′（1，0），
而A′（1，0）的“伴隨點”為（0，-1），不是A，故①錯誤，
②若點在單位圓上，則x²+y²=1，
即P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P（y，-x），
滿足y²+（-x）²=1，即P′也在單位圓上，故②正確，
③若兩點關于x軸對稱，設P（x，y），對稱點為Q（x，-y），
則Q（x，-y）的“伴隨點”為Q′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），
則Q′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）與P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）關于y軸對稱，故③正確，
④∵（-1，1），（0，1），（1，1）三點在直線y=1上，
∴（-1，1）的“伴隨點”為（$\frac{1}{1+1}$，$\frac{1}{1+1}$），即（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
（0，1）的“伴隨點”為（1，0），（1，1的“伴隨點”為（$\frac{1}{1+1}$，-$\frac{1}{1+1}$），即（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
則（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（1，0），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）三點不在同一直線上，故④錯誤，
故答案為：②③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，正確理解“伴隨點”的定義是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力．