Question

10．已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使∠BDC成直角，
（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
（2）求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由原直角三角形中，AD是斜邊BD上的高，得到AD與DB、DC都垂直，利用線面垂直的判定得到AD垂直于面BDC，由線面垂直的性質(zhì)得到要證得結(jié)論；
（2）由原題給出的邊的長度，通過解直角三角形分別求出三角形ABC三邊的長度，然后利用余弦定理求解∠BAC的大小

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ABD，AD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；
（2）證明：在原Rt△ABC中，AB=AC=a，∴BC=$\sqrt{2}$a，
∴BD=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
又折疊后∠BDC=90°，
∴△BDC為等腰Rt△，∴BC=a，∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°．

點評 本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了點線面間距離的計算，考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關(guān)鍵是對折疊問題折疊前后的變量與不變量的掌握，是中檔題．