Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$=（-1）ⁿ•2（n≥3）．求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成以1為首項，以-2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．然后對n分類求得{a_n}的前n項和S_n．

解答 解：由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}$=（-1）ⁿ•2（n≥3），得：
當n為奇數(shù)時，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}=-2$；當n為偶數(shù)時，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-2}}=2$．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成以1為首項，以-2為公比的等比數(shù)列，
偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴當n為奇數(shù)時，S_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=$\frac{1-（-2）^{\frac{n+1}{2}}}{1+2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-2}$=${2}^{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n+1}{2}}+5]$；
當n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=$\frac{1-（-2）^{\frac{n}{2}}}{1+2}+\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$=${2}^{\frac{n+2}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n}{2}}+5]$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n+1}{2}}+5]，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n+2}{2}}-\frac{1}{3}[（-2）^{\frac{n}{2}}+5]，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了等比數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．