Question

【題目】某大理石工廠初期花費98萬元購買磨大理石刀具，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起，每年所需費用比上一年增加4萬元，該大理石加工廠每年總收入50萬元.

（1）到第幾年末總利潤最大，最大值是多少？

（2）到第幾年末年平均利潤最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）第年末總利潤最大，最大值是萬元；（2）第7年末平均利潤最大，最大值為12萬元.

【解析】試題分析：（1）由已知，根據(jù)總盈利=總收入-總投入，結合等差數(shù)列的前項和公式，即可得到總盈利關于年數(shù)的函數(shù)表達式．進而根據(jù)二次函數(shù)的性質，得到結論．
（2）根據(jù)（1）中總盈利關于年數(shù)的函數(shù)表達式，根據(jù)年平均利潤為 ，結合基本不等式，即可得到年平均利潤最大值，及對應的時間．

試題解析：

（1）設年后的總利潤為萬元，則，

所以到第年末總利潤最大，最大值是萬元.

（2）年平均利潤為，

當且僅當時，即時，上式取等號.

所以到第年末平均利潤最大，最大值是萬元.