Question

已知函數(shù)

（1）時(shí)函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：

Answer 1

解析：

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

則．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，1，

則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，． 

（2）恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

設(shè)，則，令，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值1，因而．      

（3），．

因?yàn)閷?duì)任意的總存在，使得成立，

所以，   即，

即

．           

設(shè)，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，，又．

所以，即．