Question

7．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知A，B的極坐標分別為$（2，\frac{π}{2}）$，$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．
（1）求直線AB的直角坐標方程；
（2）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），試判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由A，B的極坐標化為直角坐標，根據(jù)斜率公式和點斜式方程求出直線AB的方程，再化為一般式方程；
（2）將圓C的參數(shù)方程化為直角坐標系下的方程，并求出圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線AB的距離，再與半徑比較即可得到答案．

解答 解：（1）由題意得，A，B的極坐標分別為$（2，\frac{π}{2}）$，$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，
∴A（0，2），B（1，1），
則l_AB方程為：$y=\frac{1-2}{1-0}x+2$，則y=-x+2，即x+y-2=0；
（2）∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，
∴圓C的標準方程為：（x-1）²+y²=4，圓心為C（1，0），半徑r=2，
則圓心為C（1，0）到直線AB：x+y-2=0的距離$d=\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}＜2$=r，
所以直線AB與圓C相交．

點評 本題考查極坐標與直角坐標、參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，點到直線之間的距離公式的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．