Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).試問軸上是否存在定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）.  （2）存在定點(diǎn)，使平分.

【解析】（Ⅰ）利用離心率為，可得 ，由橢圓短軸的端點(diǎn)是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂，可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，由此可求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)，，直線的方程為，然后與與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 .利用韋達(dá)定理，結(jié)合PF平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，建立方程，即可求得結(jié)論．

（1）由 ，  得 .    

依題意△是等腰直角三角形，從而，故.   

所以橢圓的方程是.                    

（2）設(shè)，，直線的方程為.  

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得 .               

所以 ，.     

若平分，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，

所以.                                                                                          

設(shè)，則有 .

將 ，代入上式，

整理得 ，

所以 .      

將 ，代入上式，

整理得 .

由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以 .

 綜上，存在定點(diǎn)，使平分.