Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos²x+asinx+2a-1，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的最值并求出對(duì)應(yīng)的x值；
（2）如果對(duì)于區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意一個(gè)x，都有f（x）≤5恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）只有一個(gè)函數(shù)名，轉(zhuǎn)化思想求解其最值可出對(duì)應(yīng)的x值；
（2）討論f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上最大值≤5，即可得f（x）≤5恒成立．可得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵a=1，
∴$f（x）={cos^2}x+sinx+1=-{sin^2}x+sinx+2=-{（sinx-\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$
當(dāng)$sinx=\frac{1}{2}$，即$x=2kπ+\frac{π}{6}$或$x=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z時(shí)，$f{（x）_{max}}=\frac{9}{4}$；
當(dāng)sinx=-1，即$x=2kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，f（x）_min=0．
（2）由f（x）=cos²x+asinx+2a-1=-sin²x+asinx+2a
令sinx=t∈[-1，1]，則函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為g（t）=-t²+at+2a，
則：當(dāng)$\frac{a}{2}≤-1$，即a≤-2時(shí)，g（t）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴f（x）_max=g（-1）=-1+a≤5，
即a≤6，于是a≤-2，
當(dāng)$-1＜\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜2時(shí)，$f{（x）_{max}}=g（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}+2a≤5$，即a²+8a-20≤0，
∴-10≤a≤2，于是-2＜a＜2，
當(dāng)$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2時(shí)，g（t）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=g（1）=-1+3a≤5，即a≤2，
綜上，a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．屬于中檔題．