Question

5．已知函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞0恒成立，得到f（x）的定義域為R，
（2）由函數(shù)的解析式求出自變量，再把自變量和函數(shù)交換位置，即得反函數(shù)的解析式，
（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞x+$\sqrt{{x}^{2}}$=x+|x|≥0，
∴x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞0恒成立，
∴f（x）的定義域為R，
（2）由y=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴10^y=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴10^-y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x，
∴10^y-10^-y=2x，
∴x=$\frac{1}{2}$（10^y-10^-y），
∴所求反函數(shù)為  f^-1（x）=$\frac{1}{2}$（10^x-10^-x），
（3）∵f（x）的定義域為R，
∴f（x）的值域為R．

點評 本題考查求函數(shù)的定義域，求反函數(shù)，以及函數(shù)的值域，求出反函數(shù)，是解題的難點．