Question

【題目】梯形ABCD頂點(diǎn)B、C在以AD為直徑的圓上，AD=2米，

(1)如圖1，若電熱絲由AB，BC，CD這三部分組成，在AB，CD上每米可輻射1單位熱量，在BC上每米可輻射2單位熱量，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)BC的長(zhǎng)度，使得電熱絲輻射的總熱量最大，并求總熱量的最大值；

(2)如圖2，若電熱絲由弧和弦BC這三部分組成，在弧上每米可輻射1單位熱量，在弦BC上每米可輻射2單位熱量，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)BC的長(zhǎng)度，使得電熱絲輻射的總熱量最大．

Answer 1

【答案】（1）應(yīng)設(shè)計(jì)BC長(zhǎng)為米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單位．（2）應(yīng)設(shè)計(jì)BC長(zhǎng)為米，電熱絲輻射的總熱量最大．

【解析】試題分析：（1）取角為自變量: 設(shè)∠AOB＝θ，分別表示AB，BC，CD,根據(jù)題意得函數(shù)4cosθ+4 sin,利用二倍角余弦公式得關(guān)于sin二次函數(shù) ,根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系求最值（2）取角為自變量: 設(shè)∠AOB＝θ，利用弧長(zhǎng)公式表示 ,得函數(shù)2θ＋4cosθ,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性,并確定最值

試題解析：解：(1)設(shè)∠AOB＝θ，θ∈(0，)則AB＝2sin，BC＝2cosθ，

總熱量單位f(θ) ＝4cosθ+4 sin＝－8(sin)2＋4 sin＋4，當(dāng)sin＝，

此時(shí)BC＝2cosθ＝ (米)，總熱量最大 (單位) ．

答：應(yīng)設(shè)計(jì)BC長(zhǎng)為米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為單位．

(2)總熱量單位g(θ)＝2θ＋4cosθ，θ∈(0，)

令g'(θ)＝0，即2－4sinθ＝0，θ＝，增區(qū)間（0，），減區(qū)間（，）

當(dāng)θ＝，g(θ)最大，此時(shí)BC＝2cosθ＝ (米)

答：應(yīng)設(shè)計(jì)BC長(zhǎng)為米，電熱絲輻射的總熱量最大．