Question

10．方程$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}$+$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$=1的解的情況（　�。�

• A． 無(wú)解
• B． 恰有一解
• C． 恰有兩個(gè)解
• D． 有無(wú)窮多個(gè)解

Answer 1

分析 將方程化為|$\sqrt{x-1}$-2|+|$\sqrt{x-1}$-3|=1，令t=$\sqrt{x-1}$，則|t-2|+|t-3|=1，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得2≤$\sqrt{x-1}$≤3，解不等式可得方程的解的個(gè)數(shù)．

解答 解：方程$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}$+$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$=1，
即為$\sqrt{（x-1）-4\sqrt{x-1}+4}$+$\sqrt{（x-1）-6\sqrt{x-1}+9}$=1，
即有|$\sqrt{x-1}$-2|+|$\sqrt{x-1}$-3|=1，
令t=$\sqrt{x-1}$，則|t-2|+|t-3|=1，
由|t-2|+|t-3|≥|（t-2）-（t-3）|=1，
當(dāng)（t-2）（t-3）≤0，即2≤t≤3，上式取得等號(hào)．
則2≤$\sqrt{x-1}$≤3，解得5≤x≤10．
則原方程的解有無(wú)窮多個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的解的情況，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查不等式的解法，屬于中檔題．