Question

如圖，已知四邊形是正方形，平面，，，,,分別為,,的中點(diǎn).              

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn),使平面？

若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

  

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image111.gif'>,分別為，的中點(diǎn)，

所以.

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image117.gif'>平面，平面，

所以平面.    

（Ⅱ）因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image107.gif'>平面，所以.

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image202.gif'>，，

所以平面.

由已知,分別為線段,的中點(diǎn)，

所以.

則平面.

而平面，

所以平面平面.  

（Ⅲ）在線段上存在一點(diǎn)，使平面.證明如下：

   在直角三角形中，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image212.gif'>,,所以.

在直角梯形中，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image212.gif'>，,所以，

所以.又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image111.gif'>為的中點(diǎn)，所以.

要使平面，只需使.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image221.gif'>平面，所以，又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/02/15/2014040215302969273318.files/image223.gif'>，,

所以平面，而平面，所以.

若，則∽,可得.

由已知可求得，，，所以.