Question

設(shè)函數(shù)，其中

(1)求在的單調(diào)區(qū)間；

(2)當時，求最小值及取得時的的值.

 

Answer 1

(1) 為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當≥3時，當=3時，取最小值，當＜3時，當時，取最小值

【解析】

試題分析：(1)先求出的導函數(shù)，由＞0解出的區(qū)間即為增區(qū)間，由＜0解出的區(qū)間即為減區(qū)間； (2)將分成大于等于3與小于3兩類，當大于等于3時，由（1）知在[1,3]是單調(diào)遞減函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出在[1,3]上的最小值及對應(yīng)的值；當小于3時，由（1）知在[1, ]是減函數(shù)，在[,3]是增函數(shù)，故當=時，取最小值，即可求得最小值.

試題解析：（1）的定義域為， 1分

令，得

令，得或 2分

令，得 3分

故為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間. 5分

（2）因為，所以

（ⅰ）當時，由（１）知，在[１，3]上單調(diào)遞減， 7分

所以在時取得最小值， 8分

最小值為： 9分

（ⅱ）當時，

由（Ⅰ）知，在[0，]上單調(diào)遞減，在[，３]上單調(diào)遞增， 11分

所以在處取得最小值，最小值為： 12分

又， 13分

所以當時，在處取得最小值；

當時，在處取得最小值. 14分

考點:常見函數(shù)的導數(shù)；函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；函數(shù)的最值；分類整合思想