Question

設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，試比較當(dāng)時(shí)，與的大�。�

（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式成立．

Answer 1

解析：（1）∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù).

∴   或在上恒成立

若在上恒成立，即函數(shù)是定義域上的單調(diào)地增函數(shù)，則在上恒成立，由此可得；

若在上恒成立，則在上恒成立.即在上恒成立.

∵在上沒有最小值

∴不存在實(shí)數(shù)使在上恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.                

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù).

令

則

顯然，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減

又，所以，當(dāng)時(shí)，恒有，

即恒成立.

故當(dāng)時(shí)，有                         

（3）數(shù)學(xué)歸納法

證明：1、當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，原不等式成立.

2、設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，

即

則當(dāng)時(shí)，

左邊=

只需證明

即證

即證

由（2）知

即

令，即有

所以當(dāng)時(shí)成立

由1、2知，原不等式成立