Question

已知數(shù)列{a_n}的通項a_n=n²+n，試問是否存在常數(shù)p，q，使等式

1

1+a1

+

1

2+a2

+…

1

n+an

=

pn2+qn

4(n+1)(n+2)

對一切自然數(shù)n都成立．若存在，求出p，q的值．并用數(shù)學(xué)歸納法證明，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：令n=1，2，建立方程求出p，q的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時先證：（1）當(dāng)n=1時成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．

解答： 解：令n=1，2可得

1

1+a1

=

p+q

24

，

1

1+a1

+

1

2+a2

=

4p+2q

48

，
∴p+q=8，4p+2q=22，
∴p=3，q=5，
∴

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

n+an

=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．
證明如下：
①n=1時，左邊=

1

1+a1

=

1

3

，右邊=

3+5

4×2×3

=

1

3

，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

k+ak

=

3k2+5k

4(k+1)(k+2)

，
則n=k+1時，左邊=

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

k+ak

+

1

(k+1)+ak+1

=

3k2+5k

4(k+1)(k+2)

+

1

(k+1)+[(k+1)2+(k+1)]

=

3(k+1)2+5(k+1)

4(k+2)(k+3)

．
即n=k+1時，結(jié)論成立，
由①②可知

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

n+an

=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點評：本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法，對存在性問題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．