Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，其中.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）令，求數(shù)列的最大項(xiàng).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）最大項(xiàng)為.

【解析】

試題（1）首先根據(jù)已知等式，令，可得，再根據(jù)已知等式可得，將兩式相減，即可得到數(shù)列的一個遞推公式，只需驗(yàn)證將此遞推公式變形得到形如的形式，從可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）可得，從而，因此要求數(shù)列的最大項(xiàng)，可以通過利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性來求得：，

當(dāng)時，，即；當(dāng)時，； 當(dāng)時，，即，因此數(shù)列的最大項(xiàng)為.

試題解析：（1）當(dāng)時，，∴，

又∵，

∴，即，∴.

又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；

（2）由（1）知，，

∴， ∴，

當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，即，

∴數(shù)列的最大項(xiàng)為，