Question

有一個(gè)茶葉廠，該廠的茶葉主要有兩種銷售方式，一種方式是賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商，另一種方式是在各超市的柜臺(tái)進(jìn)行銷售，每年該廠生產(chǎn)的茶葉都可以全部銷售，該茶葉廠每年可以生產(chǎn)茶葉100萬(wàn)盒，其中，賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商每盒茶葉的利潤(rùn)y₁（元）與銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖15所示；在各超市柜臺(tái)銷售的每盒利潤(rùn)y₂（元）與銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系為：y2=

- 3 4 x+80 (0≤x＜40) 40 (40≤x≤100)

（1）寫(xiě)出該茶葉廠賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商的銷售總利潤(rùn)z₁（萬(wàn)元）與其銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（2）求出該茶葉廠在各超市柜臺(tái)銷售的總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）求該茶葉廠每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并幫助該茶葉廠確定賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商和在各超市柜臺(tái)的銷量各為多少萬(wàn)盒時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0≤x＜60時(shí)，可直接得出該茶葉廠賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商的銷售總利潤(rùn)z₁=5x，再根據(jù)當(dāng)60≤x≤100時(shí)，每盒茶葉的利潤(rùn)y₁（元）與銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)圖象過(guò)（60，5）（100，4）點(diǎn)，得出y₁=-

1

40

x+

13

2

，最后乘以其銷售量x即可得出答案；
（2）根據(jù)在各超市柜臺(tái)銷售的每盒利潤(rùn)y₂（元）與銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系，用y₂乘以賣(mài)給各超市柜臺(tái)的銷售量即可得出答案；
（3）分別求出當(dāng)0≤x＜40，40≤x＜60，60≤x≤100時(shí)該茶葉廠每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給茶葉經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為，再分別求出此時(shí)最大利潤(rùn)，即可得出所以該茶葉廠確定賣(mài)給各超市柜臺(tái)的銷量多少萬(wàn)盒時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x＜60時(shí)，該食品廠賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售總利潤(rùn)z₁=5，
∵當(dāng)60≤x≤100時(shí)，每盒食品的利潤(rùn)y₁（元）與銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)圖象過(guò)（60，5）（100，4）點(diǎn)，
∴當(dāng)60≤x≤100時(shí)，y₁=-

1

40

x+

13

2

，
∴當(dāng)60≤x≤100時(shí)，該食品廠賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售總利潤(rùn)z₁=（=-

1

40

x+

13

2

）x=-

1

40

x²+

13

2

x．
（2）∵賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售量為x萬(wàn)盒，
∴在各超市柜臺(tái)的銷售量為（100-x）萬(wàn)盒，
∵在各超市柜臺(tái)銷售的每盒利潤(rùn)y₂（元）與銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系為：y2=

- 3 4 x+80 (0≤x＜40) 40 (40≤x≤100)

，
∴當(dāng)0≤100-x＜40，即60＜x≤100時(shí)，該食品廠在各超市柜臺(tái)銷售的總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=[-

3

4

（100-x）+80]（100-x）=-

3

4

x²+70x+500，
當(dāng)40≤100-x≤100，即0≤x≤60時(shí)，該食品廠在各超市柜臺(tái)銷售的總利潤(rùn)z₂（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=40（100-x）=-40x+4000，
（3）當(dāng)60＜x≤100時(shí)該食品廠每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
w=（-

1

40

x²+

13

2

x）+（-

3

4

x²+70x+500）=-

31

40

x²+

153

2

x+500，
∵拋物線開(kāi)口向下，∴x=

1530

31

時(shí)，w的值最大，w=2387.82萬(wàn)元，
當(dāng)40≤x＜60時(shí)該食品廠每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
w=5x-40x+4000=-35x+4000，
∵該函數(shù)w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=0時(shí)，利潤(rùn)最大，
此時(shí)的最大利潤(rùn)為：-35×0+4000=4000（萬(wàn)元），
當(dāng)0≤x＜40時(shí)該食品廠每年的總利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與賣(mài)給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬(wàn)盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
w=5x+（-

3

4

x+80）（100-x），
=

3

4

x²-150x+8000，
∴當(dāng)x=0時(shí)，利潤(rùn)最大，
此時(shí)的最大利潤(rùn)為8000（萬(wàn)元），
∴該食品廠確定賣(mài)給各超市柜臺(tái)的銷量100萬(wàn)盒時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題中的數(shù)量關(guān)系較多，最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利用函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時(shí)取得．