Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-k-x，（x∈R）．
（1）當k=0時，若函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）試判斷當k＞1時，函數(shù)f（x）在（k，2k）內(nèi)是否存在零點．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)分式函數(shù)定義域為R，則使分母不取不到0即可，轉(zhuǎn)化成研究f（x）+m的最小值大于零，解出m即可．
（2）先研究函數(shù)在（k，2k）上的單調(diào)性，然后求f（k）與f（2k）并判定函數(shù)值的符號，根據(jù)零點存在性定理可得結(jié)論．
解答：解：（1）當k=0時，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)減，在[0，+∞）上單調(diào)增．
∴f（x）_min=f（0）=1，（5分）∵?x∈R，f（x）≥1?f（x）-1≥0成立，∴m＞-1（17分）
（2）當k＞1時，f′（x）=e^x-k-1＞0，在（k，2k）上恒成立．（9分）
∴f（x）在（k，2k）上單調(diào)增．（且連續(xù)）
且f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，（10分）
f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k∵f′（2k）=e^k-2＞0，f（x）在k＞1時單調(diào)增，
∴f（2k）＞e-2＞0（13分）
∴由零點存在定理知，函數(shù)f（x）在（k，2k）內(nèi)存在零點．
點評：本題主要考查了函數(shù)的零點的問題，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．