Question

已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為

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，求此拋物線方程．

Answer 1

分析：設(shè)出拋物線的方程，直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的值，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|，由AB=

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可求p，則拋物線方程可得．

解答：解：由題意可設(shè)拋物線的方程y²=2px（p≠0），直線與拋物線交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y2=2px y=2x+1

可得，4x²+（4-2p）x+1=0
則x1+x2=

1

2

p-1，x1x2=

1

4

，y₁-y₂=2（x₁-x₂）
AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

5(x1-x2)2

=

5[(x1+x2)2-4x1x2 ]

=

5( 1 2 p-1)2-5

=

15

解得p=6或p=-2
∴拋物線的方程為y²=12x或y²=-4x

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解題的關(guān)鍵是對(duì)拋物線基本性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程的熟練應(yīng)用