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設b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖4所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

圖4

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標).

解:(1)由,

易得點G的坐標為(4,b+2),

拋物線在點G處的切線斜率為k=

拋物線在點G處的切線方程為x-4=即y=x+b-2,

又F1的坐標為(b,0),4b=8(-b),

∴b=1.

橢圓方程為+y2=1,拋物線的方程為x2=8(y-1).

(2)共有四個點.

分別過A、B作x軸的垂線交拋物線于P1、P2,

則得到兩個直角三角形△ABP1、△ABP2.

以AB為直徑的圓顯然與拋物線有兩個交點P3、P4,

則又得到兩個直角三角形△ABP3、△ABP4.

因為P1A與圓相切于點A，而P3在圓周上，

所以P3與P1不重合，同理P4與P2不重合.

故P1、P2、P3和P4是兩兩互不相同的點。

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a＞b＞0 )，它的一個頂點為M（0，1），離心率e=
6
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．

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簡化北京奧動會主體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC．BD．設內(nèi)層橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則外層橢圓方程可設
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1（a＞b＞o，m＞1）．若AC與BD的斜率之積為-
9
16
，則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為4，設右焦點為F1，離心率為e．
（1）若e=
2
2
，求橢圓的方程；
（2）設A、B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設直線AB的斜率為k，若k≥
3
，求e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖6所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

圖6

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標).

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