Question

12．將3個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小盒中（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)沒(méi)有限制），則1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)ξ的期望為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 將3個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小盒中，每個(gè)小球有4種不同的放法，共有4³種；
1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3；求出對(duì)應(yīng)的概率值，
寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：將3個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小盒中，
每個(gè)小球有4種不同的放法，共有4³=64種；
則1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3；
且P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•3}^{0}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$；
則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．