Question

19．設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₁=2，S₃=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•log₂a_n，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，從而可得S₃=a₁（1+q+q²）=14，從而解得；
（2）代入a_n=2ⁿ化簡(jiǎn)即可；
（3）利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則a₁=S₁=2，S₃=a₁（1+q+q²）=14，
解得，q=2或q=-3（舍去）；
故a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=a_n•log₂a_n=n•2ⁿ；
（3）T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+5•2⁵+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+4•2⁵+5•2⁶+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式作差可得，
T_n=-2-2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+n•2ⁿ⁺¹
=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．